緯的天空

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2016年亞太數學奧林匹亞競賽, 初選考試試題
2015 年12 月6 日
說明: 本試題共二頁, 七題, 每題七分。
將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號處。
答錯不倒扣, 未完全答對者, 不給分。
答案卡填答注意事項: 答案的數字位數少於填答空格數時, 請適度地在前面填入0.
一、(7分) 已知a, b, c, d 均為偶數, 且0 < a < b < c < d, d − a = 90. 若a, b, c 成等差
數列, b, c, d 成等比數列。 試求 a + b + c + d 之值。 答:
1
2
3
Ans. 194
二、(7分) 將二項式係數􀀀n
0
, 􀀀n
1
, · · · , 􀀀n
n
視為一數列。當n ≤ 2016 時(此處n 為正整
數) , 其中各項均為奇數的數列共有
4
5 組。
Ans. 10
三、(7分) 已知四邊形ABCD 內接於圓O, AB 是直徑, AD = DC, 分別延長BA,
CD 交於點E, BF⊥EC 與EC 的延長線交於點F. 若AE = AO, BC = 6, 試問
線段CF 的長為=

6 √
7
8 。(請寫成最簡分數)
Ans. 3p2
2
四、已知函數f(x) 在開區間(−1, 1) 上有意義, f(
1
2
) = −1, 且滿足x, y ∈ (−1, 1) 時,
有
f(x) + f(y) = f(
x + y
1 + xy
).
(1) (2分) 數列{xn} 滿足
x1 =
1
2
, xn+1 =
2xn
1 + x2
n
, n = 2, 3, · · · .
設an = f(xn), 試問: a10 =
9
10
11
12
Ans. a10 = −512
(2) (5分) 設bn = n2 + 3n + 1. 試問:
1 + f(
1
b1
) + f(
1
b2
) + · · · + f(
1
b2016
) + f(
1
2018
) =
13
14
Ans. 00
五、(7分) 有一個三角形, 其三個邊長都是正整數, 且它們的最大公因數為1. 若此三角
形的內切圓剛好將某一條中線三等分, 則這個三角形的周長為
15
16。
Ans: (5 + 10 + 13 = ) 28
1
六、(7分) 設集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. A 中有
17
18
19
20 個子集合,
含有三個或三個以上的連續整數。
Ans: 2391
七、(7分)一袋中有若干藍色球與若干紅色球, 總球數落在2000至5000之間。假設每球
被抽出的機率皆相同。已知: 同時由袋中抽出兩球, 兩球都是藍色球的機率恰為
1
2
,
則此袋中藍色球共有
21
22
23
24 顆。
Ans: 2871 (註: 袋中紅色球有1189 顆, 共4060 顆球。)
2

和一群高中生一起參加亞太數學初選

要參加國際競賽

真的要好好規劃

好好準備才行

全國十個的名額參加決賽

真是一場怵目驚心的爭奪戰